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《以定理为中心的高中数学》序言
《以定理为中心的高中数学》序言《以定理为中心的高中数学》序言
20世纪80年代以来，数学一直是国人十分重视的一门学科。数学作为主科“受重视”的代价是引发一系列的误解。很多学生包括老师认为数学就是做几道题，大量做题就能把数学学好，就能起到“思维体操”的训练作用。这种对数学的偏见，不利于高素质数学人才的培养，不利于学生进入大学后保持对数学的兴趣，攀登科研高峰。
数学学科的任务是不断探索发现新定理，同时给出证明。数学定理并非孤立的存在，而是牢固的建立在少数几条公理基础之上，建立过程叫做证明。人类历史上已知的第一个严谨证明是泰勒斯证明圆的直径所对的角是直角，距今2600多年了。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的着作。在这部着作中，欧几里得从少数几条公理出发，构建了欧氏几何的公理体系。这部着作一直为数学家群体顶礼膜拜，公理化思想由此成为数学的核心思想之一。
当然，数学中的公理是绝对真理吗？非欧几何创立之后，数学家发现修改欧几里得的公理，完全可以构建一套新的几何体系，内部没有矛盾。数学的真理性受到挑战。
到20世纪初，策梅洛和弗兰德尔创立了公理集合论，这套集合论公理叫做ZFC公理。已有的数学定理都可以用一阶谓词逻辑的纯形式语言表述，而且都可以从ZFC公理出发得到证明。在ZFC公理体系之下，已有的矛盾被消灭。当然，ZFC公理基础上是否还会引发矛盾？大数学家哥德尔证明了：如果ZFC系统不会引发矛盾，那么从ZFC公理出发，不可能证明“ZFC系统不会引发矛盾”这一命题。此后，哥德尔和柯恩又分别证明了如果ZFC无矛盾，把连续统假设及其否定添加入ZFC都不会引起矛盾。至此，数学家对于数学本质的认识发生了更严重的分歧。详情我们请读者参考数学史专家克莱因所着《数学：确定性的丧失》。
柏拉图主义者认为数学是一个客观存在的真理世界，它的无矛盾性是被真理世界自身所保证的。人类创造的公理无法证明它的无矛盾性，这完全在预料之中。连续统假设的真假在真理世界中也是确定的。ZFC系统无法证真或证伪连续统假设，只能说明人类创造的ZFC公理尚不足以刻画整个数学真理世界。柏拉图主义者认为数学是被发现的。他们认为数学家的工作与物理学家，化学家相似，是为了探索真理。
形式主义者认为，数学只是人类发明的一个形式系统。做数学就像写诗歌一样，写诗歌只需遵守文字的规则，数学只需遵守逻辑推理的规则，之后就是自由的。他们认为数学是被发明的。
正是因为数学兼具发现与发明的特质，使得数学研究兼具科学和人文的魅力。数学一方面要求严谨遵守规则，另一方面问题的提出和解决却又高度自由，能够充分发挥人的创造力。
当然，绝大多数数学书并不是从ZFC公理出发展开全部理论，而是对一些定理不加证明的予以接受，并在此基础上展开理论。不仅中学数学教材如此，大学数学教材也如此。我们指出，这种处理方法是合适的。事实上，ZFC公理迟至20世纪初问世，在此之前数学一直在蓬勃发展。抛开早期不严谨的数学不算，带严谨证明的数学也已经发展了大约两千年。人类并未因为暂时未能找到全部数学的公理基础就不敢发展数学学科。
逻辑上是先有公理后有定理，但从数学发展史看，是先有了一些结论（定理）之后再去寻找公理。而且数学的公理在数学史上并非一成不变。数学家常常发现更为底层的公理基础，于是旧的公理变成了可以证明的定理。例如数学中最基本的结果1+1=2，多数人根本想不到它也需要证明。事实上，在现代数学意义下它是一个可以被证明的定理，而不是公理。
本教材以定理为中心，强化证明训练。我们希望把中学生力所能及的证明尽可能多的呈现出来，让学生不是背数学，而是在证明训练中更好的理解数学。数学中规定证明过程必须采用演绎推理。所谓演绎推理，按照国家教材选修2-2的说法，就是由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程。这句话中有三个词汇需要重点理解，“概念的定义”，“真命题”，“逻辑规则”。
数学中不断引入新概念，意义之一是让定理的叙述和证明过程更为简洁易懂。我们可以把每个概念替换为其原始定义而不改变定理内容，代价是定理太长而不易理解；我们也可以把概念改用另外一个词汇表示，代价是由于不熟悉而理解困难。理解数学概念必须借助其严谨定义而不能“望文生义”。数学概念所采用的词汇常常也在生活中使用，但是该词汇在数学中的意义和生活中的意义常常并不完全相同。
当然，由于每个概念的定义都要借助其他概念，因此注定存在少数最底层的概念没有严格定义。现代数学中只有集合，元素与集合的属于关系二者没有严格定义，而通过它们满足的ZFC公理来刻画其性质。这一点并不奇怪。同学们在初中已经学到平面几何的公理体系。这个公理体系中最底层的平面，直线等概念是没有严格定义，它们的性质通过欧氏几何的公理来刻画。
所谓真命题，是指公理和已经证明过的定理，也包括不加证明的予以接受的定理，例如1+1=2. 我们指出，初中学过的全部结论都是正确的，即使它们没有被严格的证明。我们前面已经强调，绝大多数数学书不可能从ZFC公理出发展开全部理论，而都是把很多定理的证明甩给了先修教材，或者不加证明的予以接受。这种做法的合理性，我们也从数学史的角度加以论证。数学史上先用定理后给证明司空见惯。相比而言，我们的做法似乎更负责任，因为我们知道它们能够被证明，只不过自己没工夫做这件事。
最后一点是逻辑规则。严格的讲，数学推理采用一阶谓词逻辑的推理规则。这套规则也是繁冗的，中学生没有必要学。中学生只需知道一些比较简单的推理规则即可。为此，我们把国家教材选修2-1中的《常用逻辑用语》部分前置，开门见山的学习这部分内容。
本书第一章标题为《数学基础》。前两节学习常用逻辑用语，开门见山的呈现推理规则，学生阅读后续内容将减少很多障碍。第三、四节介绍集合。我们遵循国家课标对集合部分的处理方式，介绍朴素集合论，通过自然语言理解集合的有关概念。这样做对于学生后续学习是足够的。第五节介绍映射与常用计数原理。我们突出映射在计数中的地位，有助于学生理解映射概念的重要性，也使得基本的计数问题不至于推至高二下学期才能够处理。
本教材会频繁强调直观如何为理解定理和证明定理提供帮助，但是在代数部分不允许直观介入证明过程本身：证明本身必须是形式化的。
关于高中数学中的欧氏几何部分，我们指出：欧氏几何虽然早在欧几里得完成《几何原本》后就实现了公理化，但是古典欧氏几何在证明几何定理过程中难以避免用到几何直观。欧氏几何实现不依赖于直观的彻底形式化则迟至19世纪末希尔伯特完成《几何基础》。显然没有必要把希尔伯特的工作介绍给中学生，本书的几何部分依然采取古典欧氏几何的说理方式，允许适当借助直观。
在此我们愿意就纯数学与应用数学的关系发表一点见解。好的应用数学在建模之后，就转化为纯数学问题。数学与很多自然现象甚至社会现象有极强的吻合度，挖掘这种吻合自然也是很有意义的工作。应用数学的魅力，一部分在于建模，另一部分是形式推演，这一部分与纯数学别无二致。好的应用数学是建立在对纯数学深刻理解的基础之上的。因此我们的数学教材以定理为中心，强化证明训练，与应用并不矛盾！
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数学学科的任务是不断探索发现新定理，同时给出证明。数学定理并非孤立的存在，而是牢固的建立在少数几条公理基础之上，建立过程叫做证明。人类历史上已知的第一个严谨证明是泰勒斯证明圆的直径所对的角是直角，距今2600多年了。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的着作。在这部着作中，欧几里得从少数几条公理出发，构建了欧氏几何的公理体系。这部着作一直为数学家群体顶礼膜拜，公理化思想由此成为数学的核心思想之一。
当然，数学中的公理是绝对真理吗？非欧几何创立之后，数学家发现修改欧几里得的公理，完全可以构建一套新的几何体系，内部没有矛盾。数学的真理性受到挑战。
到20世纪初，策梅洛和弗兰德尔创立了公理集合论，这套集合论公理叫做ZFC公理。已有的数学定理都可以用一阶谓词逻辑的纯形式语言表述，而且都可以从ZFC公理出发得到证明。在ZFC公理体系之下，已有的矛盾被消灭。当然，ZFC公理基础上是否还会引发矛盾？大数学家哥德尔证明了：如果ZFC系统不会引发矛盾，那么从ZFC公理出发，不可能证明“ZFC系统不会引发矛盾”这一命题。此后，哥德尔和柯恩又分别证明了如果ZFC无矛盾，把连续统假设及其否定添加入ZFC都不会引起矛盾。至此，数学家对于数学本质的认识发生了更严重的分歧。详情我们请读者参考数学史专家克莱因所着《数学：确定性的丧失》。
柏拉图主义者认为数学是一个客观存在的真理世界，它的无矛盾性是被真理世界自身所保证的。人类创造的公理无法证明它的无矛盾性，这完全在预料之中。连续统假设的真假在真理世界中也是确定的。ZFC系统无法证真或证伪连续统假设，只能说明人类创造的ZFC公理尚不足以刻画整个数学真理世界。柏拉图主义者认为数学是被发现的。他们认为数学家的工作与物理学家，化学家相似，是为了探索真理。
形式主义者认为，数学只是人类发明的一个形式系统。做数学就像写诗歌一样，写诗歌只需遵守文字的规则，数学只需遵守逻辑推理的规则，之后就是自由的。他们认为数学是被发明的。
正是因为数学兼具发现与发明的特质，使得数学研究兼具科学和人文的魅力。数学一方面要求严谨遵守规则，另一方面问题的提出和解决却又高度自由，能够充分发挥人的创造力。
当然，绝大多数数学书并不是从ZFC公理出发展开全部理论，而是对一些定理不加证明的予以接受，并在此基础上展开理论。不仅中学数学教材如此，大学数学教材也如此。我们指出，这种处理方法是合适的。事实上，ZFC公理迟至20世纪初问世，在此之前数学一直在蓬勃发展。抛开早期不严谨的数学不算，带严谨证明的数学也已经发展了大约两千年。人类并未因为暂时未能找到全部数学的公理基础就不敢发展数学学科。
逻辑上是先有公理后有定理，但从数学发展史看，是先有了一些结论（定理）之后再去寻找公理。而且数学的公理在数学史上并非一成不变。数学家常常发现更为底层的公理基础，于是旧的公理变成了可以证明的定理。例如数学中最基本的结果1+1=2，多数人根本想不到它也需要证明。事实上，在现代数学意义下它是一个可以被证明的定理，而不是公理。
本教材以定理为中心，强化证明训练。我们希望把中学生力所能及的证明尽可能多的呈现出来，让学生不是背数学，而是在证明训练中更好的理解数学。数学中规定证明过程必须采用演绎推理。所谓演绎推理，按照国家教材选修2-2的说法，就是由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程。这句话中有三个词汇需要重点理解，“概念的定义”，“真命题”，“逻辑规则”。
数学中不断引入新概念，意义之一是让定理的叙述和证明过程更为简洁易懂。我们可以把每个概念替换为其原始定义而不改变定理内容，代价是定理太长而不易理解；我们也可以把概念改用另外一个词汇表示，代价是由于不熟悉而理解困难。理解数学概念必须借助其严谨定义而不能“望文生义”。数学概念所采用的词汇常常也在生活中使用，但是该词汇在数学中的意义和生活中的意义常常并不完全相同。
当然，由于每个概念的定义都要借助其他概念，因此注定存在少数最底层的概念没有严格定义。现代数学中只有集合，元素与集合的属于关系二者没有严格定义，而通过它们满足的ZFC公理来刻画其性质。这一点并不奇怪。同学们在初中已经学到平面几何的公理体系。这个公理体系中最底层的平面，直线等概念是没有严格定义，它们的性质通过欧氏几何的公理来刻画。
所谓真命题，是指公理和已经证明过的定理，也包括不加证明的予以接受的定理，例如1+1=2. 我们指出，初中学过的全部结论都是正确的，即使它们没有被严格的证明。我们前面已经强调，绝大多数数学书不可能从ZFC公理出发展开全部理论，而都是把很多定理的证明甩给了先修教材，或者不加证明的予以接受。这种做法的合理性，我们也从数学史的角度加以论证。数学史上先用定理后给证明司空见惯。相比而言，我们的做法似乎更负责任，因为我们知道它们能够被证明，只不过自己没工夫做这件事。
最后一点是逻辑规则。严格的讲，数学推理采用一阶谓词逻辑的推理规则。这套规则也是繁冗的，中学生没有必要学。中学生只需知道一些比较简单的推理规则即可。为此，我们把国家教材选修2-1中的《常用逻辑用语》部分前置，开门见山的学习这部分内容。
本书第一章标题为《数学基础》。前两节学习常用逻辑用语，开门见山的呈现推理规则，学生阅读后续内容将减少很多障碍。第三、四节介绍集合。我们遵循国家课标对集合部分的处理方式，介绍朴素集合论，通过自然语言理解集合的有关概念。这样做对于学生后续学习是足够的。第五节介绍映射与常用计数原理。我们突出映射在计数中的地位，有助于学生理解映射概念的重要性，也使得基本的计数问题不至于推至高二下学期才能够处理。
本教材会频繁强调直观如何为理解定理和证明定理提供帮助，但是在代数部分不允许直观介入证明过程本身：证明本身必须是形式化的。
关于高中数学中的欧氏几何部分，我们指出：欧氏几何虽然早在欧几里得完成《几何原本》后就实现了公理化，但是古典欧氏几何在证明几何定理过程中难以避免用到几何直观。欧氏几何实现不依赖于直观的彻底形式化则迟至19世纪末希尔伯特完成《几何基础》。显然没有必要把希尔伯特的工作介绍给中学生，本书的几何部分依然采取古典欧氏几何的说理方式，允许适当借助直观。
在此我们愿意就纯数学与应用数学的关系发表一点见解。好的应用数学在建模之后，就转化为纯数学问题。数学与很多自然现象甚至社会现象有极强的吻合度，挖掘这种吻合自然也是很有意义的工作。应用数学的魅力，一部分在于建模，另一部分是形式推演，这一部分与纯数学别无二致。好的应用数学是建立在对纯数学深刻理解的基础之上的。因此我们的数学教材以定理为中心，强化证明训练，与应用并不矛盾！
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