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《以定理为中心的高中数学》序言
《以定理为中心的高中数学》序言《以定理为中心的高中数学》序言
所谓真命题，是指公理和已经证明过的定理，也包括不加证明的予以接受的定理，例如1+1=2. 我们指出，初中学过的全部结论都是正确的，即使它们没有被严格的证明。我们前面已经强调，绝大多数数学书不可能从ZFC公理出发展开全部理论，而都是把很多定理的证明甩给了先修教材，或者不加证明的予以接受。这种做法的合理性，我们也从数学史的角度加以论证。数学史上先用定理后给证明司空见惯。相比而言，我们的做法似乎更负责任，因为我们知道它们能够被证明，只不过自己没工夫做这件事。
最后一点是逻辑规则。严格的讲，数学推理采用一阶谓词逻辑的推理规则。这套规则也是繁冗的，中学生没有必要学。中学生只需知道一些比较简单的推理规则即可。为此，我们把国家教材选修2-1中的《常用逻辑用语》部分前置，开门见山的学习这部分内容。
本书第一章标题为《数学基础》。前两节学习常用逻辑用语，开门见山的呈现推理规则，学生阅读后续内容将减少很多障碍。第三、四节介绍集合。我们遵循国家课标对集合部分的处理方式，介绍朴素集合论，通过自然语言理解集合的有关概念。这样做对于学生后续学习是足够的。第五节介绍映射与常用计数原理。我们突出映射在计数中的地位，有助于学生理解映射概念的重要性，也使得基本的计数问题不至于推至高二下学期才能够处理。
本教材会频繁强调直观如何为理解定理和证明定理提供帮助，但是在代数部分不允许直观介入证明过程本身：证明本身必须是形式化的。
关于高中数学中的欧氏几何部分，我们指出：欧氏几何虽然早在欧几里得完成《几何原本》后就实现了公理化，但是古典欧氏几何在证明几何定理过程中难以避免用到几何直观。欧氏几何实现不依赖于直观的彻底形式化则迟至19世纪末希尔伯特完成《几何基础》。显然没有必要把希尔伯特的工作介绍给中学生，本书的几何部分依然采取古典欧氏几何的说理方式，允许适当借助直观。
在此我们愿意就纯数学与应用数学的关系发表一点见解。好的应用数学在建模之后，就转化为纯数学问题。数学与很多自然现象甚至社会现象有极强的吻合度，挖掘这种吻合自然也是很有意义的工作。应用数学的魅力，一部分在于建模，另一部分是形式推演，这一部分与纯数学别无二致。好的应用数学是建立在对纯数学深刻理解的基础之上的。因此我们的数学教材以定理为中心，强化证明训练，与应用并不矛盾！
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最后一点是逻辑规则。严格的讲，数学推理采用一阶谓词逻辑的推理规则。这套规则也是繁冗的，中学生没有必要学。中学生只需知道一些比较简单的推理规则即可。为此，我们把国家教材选修2-1中的《常用逻辑用语》部分前置，开门见山的学习这部分内容。
本书第一章标题为《数学基础》。前两节学习常用逻辑用语，开门见山的呈现推理规则，学生阅读后续内容将减少很多障碍。第三、四节介绍集合。我们遵循国家课标对集合部分的处理方式，介绍朴素集合论，通过自然语言理解集合的有关概念。这样做对于学生后续学习是足够的。第五节介绍映射与常用计数原理。我们突出映射在计数中的地位，有助于学生理解映射概念的重要性，也使得基本的计数问题不至于推至高二下学期才能够处理。
本教材会频繁强调直观如何为理解定理和证明定理提供帮助，但是在代数部分不允许直观介入证明过程本身：证明本身必须是形式化的。
关于高中数学中的欧氏几何部分，我们指出：欧氏几何虽然早在欧几里得完成《几何原本》后就实现了公理化，但是古典欧氏几何在证明几何定理过程中难以避免用到几何直观。欧氏几何实现不依赖于直观的彻底形式化则迟至19世纪末希尔伯特完成《几何基础》。显然没有必要把希尔伯特的工作介绍给中学生，本书的几何部分依然采取古典欧氏几何的说理方式，允许适当借助直观。
在此我们愿意就纯数学与应用数学的关系发表一点见解。好的应用数学在建模之后，就转化为纯数学问题。数学与很多自然现象甚至社会现象有极强的吻合度，挖掘这种吻合自然也是很有意义的工作。应用数学的魅力，一部分在于建模，另一部分是形式推演，这一部分与纯数学别无二致。好的应用数学是建立在对纯数学深刻理解的基础之上的。因此我们的数学教材以定理为中心，强化证明训练，与应用并不矛盾！
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