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《以定理为中心的高中数学》序言
《以定理为中心的高中数学》序言《以定理为中心的高中数学》序言
20世纪80年代以来，数学一直是国人十分重视的一门学科。数学作为主科“受重视”的代价是引发一系列的误解。很多学生包括老师认为数学就是做几道题，大量做题就能把数学学好，就能起到“思维体操”的训练作用。这种对数学的偏见，不利于高素质数学人才的培养，不利于学生进入大学后保持对数学的兴趣，攀登科研高峰。
数学学科的任务是不断探索发现新定理，同时给出证明。数学定理并非孤立的存在，而是牢固的建立在少数几条公理基础之上，建立过程叫做证明。人类历史上已知的第一个严谨证明是泰勒斯证明圆的直径所对的角是直角，距今2600多年了。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的着作。在这部着作中，欧几里得从少数几条公理出发，构建了欧氏几何的公理体系。这部着作一直为数学家群体顶礼膜拜，公理化思想由此成为数学的核心思想之一。
当然，数学中的公理是绝对真理吗？非欧几何创立之后，数学家发现修改欧几里得的公理，完全可以构建一套新的几何体系，内部没有矛盾。数学的真理性受到挑战。
到20世纪初，策梅洛和弗兰德尔创立了公理集合论，这套集合论公理叫做ZFC公理。已有的数学定理都可以用一阶谓词逻辑的纯形式语言表述，而且都可以从ZFC公理出发得到证明。在ZFC公理体系之下，已有的矛盾被消灭。当然，ZFC公理基础上是否还会引发矛盾？大数学家哥德尔证明了：如果ZFC系统不会引发矛盾，那么从ZFC公理出发，不可能证明“ZFC系统不会引发矛盾”这一命题。此后，哥德尔和柯恩又分别证明了如果ZFC无矛盾，把连续统假设及其否定添加入ZFC都不会引起矛盾。至此，数学家对于数学本质的认识发生了更严重的分歧。详情我们请读者参考数学史专家克莱因所着《数学：确定性的丧失》。
柏拉图主义者认为数学是一个客观存在的真理世界，它的无矛盾性是被真理世界自身所保证的。人类创造的公理无法证明它的无矛盾性，这完全在预料之中。连续统假设的真假在真理世界中也是确定的。ZFC系统无法证真或证伪连续统假设，只能说明人类创造的ZFC公理尚不足以刻画整个数学真理世界。柏拉图主义者认为数学是被发现的。他们认为数学家的工作与物理学家，化学家相似，是为了探索真理。
形式主义者认为，数学只是人类发明的一个形式系统。做数学就像写诗歌一样，写诗歌只需遵守文字的规则，数学只需遵守逻辑推理的规则，之后就是自由的。他们认为数学是被发明的。
正是因为数学兼具发现与发明的特质，使得数学研究兼具科学和人文的魅力。数学一方面要求严谨遵守规则，另一方面问题的提出和解决却又高度自由，能够充分发挥人的创造力。
当然，绝大多数数学书并不是从ZFC公理出发展开全部理论，而是对一些定理不加证明的予以接受，并在此基础上展开理论。不仅中学数学教材如此，大学数学教材也如此。我们指出，这种处理方法是合适的。事实上，ZFC公理迟至20世纪初问世，在此之前数学一直在蓬勃发展。抛开早期不严谨的数学不算，带严谨证明的数学也已经发展了大约两千年。人类并未因为暂时未能找到全部数学的公理基础就不敢发展数学学科。
逻辑上是先有公理后有定理，但从数学发展史看，是先有了一些结论（定理）之后再去寻找公理。而且数学的公理在数学史上并非一成不变。数学家常常发现更为底层的公理基础，于是旧的公理变成了可以证明的定理。例如数学中最基本的结果1+1=2，多数人根本想不到它也需要证明。事实上，在现代数学意义下它是一个可以被证明的定理，而不是公理。
本教材以定理为中心，强化证明训练。我们希望把中学生力所能及的证明尽可能多的呈现出来，让学生不是背数学，而是在证明训练中更好的理解数学。数学中规定证明过程必须采用演绎推理。所谓演绎推理，按照国家教材选修2-2的说法，就是由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程。这句话中有三个词汇需要重点理解，“概念的定义”，“真命题”，“逻辑规则”。
数学中不断引入新概念，意义之一是让定理的叙述和证明过程更为简洁易懂。我们可以把每个概念替换为其原始定义而不改变定理内容，代价是定理太长而不易理解；我们也可以把概念改用另外一个词汇表示，代价是由于不熟悉而理解困难。理解数学概念必须借助其严谨定义而不能“望文生义”。数学概念所采用的词汇常常也在生活中使用，但是该词汇在数学中的意义和生活中的意义常常并不完全相同。
当然，由于每个概念的定义都要借助其他概念，因此注定存在少数最底层的概念没有严格定义。现代数学中只有集合，元素与集合的属于关系二者没有严格定义，而通过它们满足的ZFC公理来刻画其性质。这一点并不奇怪。同学们在初中已经学到平面几何的公理体系。这个公理体系中最底层的平面，直线等概念是没有严格定义，它们的性质通过欧氏几何的公理来刻画。
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数学学科的任务是不断探索发现新定理，同时给出证明。数学定理并非孤立的存在，而是牢固的建立在少数几条公理基础之上，建立过程叫做证明。人类历史上已知的第一个严谨证明是泰勒斯证明圆的直径所对的角是直角，距今2600多年了。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的着作。在这部着作中，欧几里得从少数几条公理出发，构建了欧氏几何的公理体系。这部着作一直为数学家群体顶礼膜拜，公理化思想由此成为数学的核心思想之一。
当然，数学中的公理是绝对真理吗？非欧几何创立之后，数学家发现修改欧几里得的公理，完全可以构建一套新的几何体系，内部没有矛盾。数学的真理性受到挑战。
到20世纪初，策梅洛和弗兰德尔创立了公理集合论，这套集合论公理叫做ZFC公理。已有的数学定理都可以用一阶谓词逻辑的纯形式语言表述，而且都可以从ZFC公理出发得到证明。在ZFC公理体系之下，已有的矛盾被消灭。当然，ZFC公理基础上是否还会引发矛盾？大数学家哥德尔证明了：如果ZFC系统不会引发矛盾，那么从ZFC公理出发，不可能证明“ZFC系统不会引发矛盾”这一命题。此后，哥德尔和柯恩又分别证明了如果ZFC无矛盾，把连续统假设及其否定添加入ZFC都不会引起矛盾。至此，数学家对于数学本质的认识发生了更严重的分歧。详情我们请读者参考数学史专家克莱因所着《数学：确定性的丧失》。
柏拉图主义者认为数学是一个客观存在的真理世界，它的无矛盾性是被真理世界自身所保证的。人类创造的公理无法证明它的无矛盾性，这完全在预料之中。连续统假设的真假在真理世界中也是确定的。ZFC系统无法证真或证伪连续统假设，只能说明人类创造的ZFC公理尚不足以刻画整个数学真理世界。柏拉图主义者认为数学是被发现的。他们认为数学家的工作与物理学家，化学家相似，是为了探索真理。
形式主义者认为，数学只是人类发明的一个形式系统。做数学就像写诗歌一样，写诗歌只需遵守文字的规则，数学只需遵守逻辑推理的规则，之后就是自由的。他们认为数学是被发明的。
正是因为数学兼具发现与发明的特质，使得数学研究兼具科学和人文的魅力。数学一方面要求严谨遵守规则，另一方面问题的提出和解决却又高度自由，能够充分发挥人的创造力。
当然，绝大多数数学书并不是从ZFC公理出发展开全部理论，而是对一些定理不加证明的予以接受，并在此基础上展开理论。不仅中学数学教材如此，大学数学教材也如此。我们指出，这种处理方法是合适的。事实上，ZFC公理迟至20世纪初问世，在此之前数学一直在蓬勃发展。抛开早期不严谨的数学不算，带严谨证明的数学也已经发展了大约两千年。人类并未因为暂时未能找到全部数学的公理基础就不敢发展数学学科。
逻辑上是先有公理后有定理，但从数学发展史看，是先有了一些结论（定理）之后再去寻找公理。而且数学的公理在数学史上并非一成不变。数学家常常发现更为底层的公理基础，于是旧的公理变成了可以证明的定理。例如数学中最基本的结果1+1=2，多数人根本想不到它也需要证明。事实上，在现代数学意义下它是一个可以被证明的定理，而不是公理。
本教材以定理为中心，强化证明训练。我们希望把中学生力所能及的证明尽可能多的呈现出来，让学生不是背数学，而是在证明训练中更好的理解数学。数学中规定证明过程必须采用演绎推理。所谓演绎推理，按照国家教材选修2-2的说法，就是由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程。这句话中有三个词汇需要重点理解，“概念的定义”，“真命题”，“逻辑规则”。
数学中不断引入新概念，意义之一是让定理的叙述和证明过程更为简洁易懂。我们可以把每个概念替换为其原始定义而不改变定理内容，代价是定理太长而不易理解；我们也可以把概念改用另外一个词汇表示，代价是由于不熟悉而理解困难。理解数学概念必须借助其严谨定义而不能“望文生义”。数学概念所采用的词汇常常也在生活中使用，但是该词汇在数学中的意义和生活中的意义常常并不完全相同。
当然，由于每个概念的定义都要借助其他概念，因此注定存在少数最底层的概念没有严格定义。现代数学中只有集合，元素与集合的属于关系二者没有严格定义，而通过它们满足的ZFC公理来刻画其性质。这一点并不奇怪。同学们在初中已经学到平面几何的公理体系。这个公理体系中最底层的平面，直线等概念是没有严格定义，它们的性质通过欧氏几何的公理来刻画。
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